Rovinu zobrazíme pomocí jejích stop. Stopa roviny je průsečnice roviny s průmětnou. Rovina \(\beta\) bude tedy reprezentována půdorysnou stopou \(p^{\beta}\), nárysnou stopou \(n^{\beta}\) a bokorysnou stopou \(m^{\beta}\) (obr. 5.1).

Úloha 19. \(X\)[12-15; 5-19], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=5\). Sestrojte stopy roviny \(\varrho = (4;-5;7)\).

Rovina může být zadána třemi nekolineárními body (tj. body, které neleží v jedné přímce), přímkou a bodem (přičemž bod neleží na přímce), nebo dvěma přímkami (rovnoběžnými různými nebo různoběžnými).

Máme-li rovinu zadanou dvěma přímkami, jejími stopami budou spojnice stopníků daných přímek. Spojnicí půdorysných stopníků je půdorysná stopa, spojnicí nárysných stopníků je nárysná stopa, spojnicí bokorysných stopníků je bokorysná stopa.

V případě, že máme rovinu danou bodem a přímkou, vedeme daným bodem rovnoběžku nebo různoběžku s danou přímkou a hledáme stopy roviny zadané dvěma přímkami.

Zadáme-li rovinu pomocí tří bodů (na obr. 5.2 je rovina \(\beta\) zadána body \(K\), \(L\), \(M\)), zadání opět převedeme na dvě přímky (dvě spojnice \(p\), \(q\) libovolně zvolených párů zadaných bodů, popř. spojnice \(p\) dvou bodů a její rovnoběžka \(p'\) nebo různoběžka třetím bodem).

V pravoúhlé axonometrii má rovina navíc axonometrickou stopu \(a^{\beta}\), kterou si ukážeme v kapitole 5.5.

Úloha 20. \(X\)[4-9; 5-16], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=8,5\), \(|YZ|=8\), \(|XZ|=5\). Jsou dány body \(L=[5,5;3,5;6,5]\), \(M=[0;6;2]\), \(N=[8;0;1]\). Sestrojte stopy roviny \(\rho = LMN\).

Úloha 21. \(X\)[2-7; 7-18], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=13\), \(|YZ|=6\), \(|XZ|=12\). Jsou dány body \(A=[4;7;9]\), \(B=[9;1;13]\), \(C=[3;3;10]\). Sestrojte stopy roviny \(\omega = ABC\).

5.1 Přímka a rovina

Vzájemnou polohu přímky \(p\) a roviny \(\beta\) zjistíme pomocí tzv. krycí přímky \(k\), která leží v rovině \(\beta\). Určení vzájemné polohy přímky a roviny si ukážeme na obr. 5.3.

Axonometrický půdorys \(k_{1}\) krycí přímky \(k\) vedeme totožný s axonometrickým půdorysem \(p_{1}\) přímky \(p\). Určíme axonometrický průmět krycí přímky \(k\) (krycí přímka \(k\) leží v rovině \(\beta\), vyneseme tedy po ordinálách její stopníky). Zbývá již pouze porovnat axonometrické průměty krycí přímky \(k\) a přímky \(p\). Jsou-li rovnoběžné, je přímka \(p\) rovnoběžná s rovinou \(\beta\). Mají-li axonometrické průměty přímky \(q\) a k ní takto sestrojené krycí přímky \(k\) společný průsečík \(R\), přímka \(q\) je různoběžná s rovinou \(\beta\) a protíná ji právě v bodě \(R\).

Na obr. 5.3 si můžeme všimnout roviny \(\beta\), přímky \(p\) rovnoběžné s rovinou \(\beta\) a přímky \(q\), která je různoběžná s rovinou \(\beta\). Bod \(R\) je průsečík přímky \(q\) s rovinou \(\beta\).

Podobně můžeme zvolit krycí přímku \(k\), jejíž axonometrický průmět je totožný s axonometrickým průmětem přímky \(p\). Pomocí stopníků určíme axonometrický půdorys \(k_{1}\) přímky \(k\) a porovnáme jej s axonometrickým půdorysem \(p_{1}\) přímky \(p\). Jsou-li průměty \(p_{1}\), \(k_{1}\) rovnoběžné, je i přímka \(p\) rovnoběžná s rovinou \(\beta\). Pokud jsou průměty \(p_{1}\), \(k_{1}\) různoběžné, je přímka \(p\) různoběžná s rovinou \(\beta\). Průsečík \(R_{1}\) přímek \(p_{1}\), \(k_{1}\) je axonometrický půdorys průsečíku přímky \(p\) s rovinou \(\beta\).

Může se stát, že axonometrické průměty přímek \(p\), \(k\) i jejich axonometrické půdorysy budou navzájem totožné (\(p = k \wedge p_{1} = k_{1}\)). Potom přímka \(p\) leží v rovině \(\beta\).

Úloha 22. \(X\)[2-8; 6-20], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=10\), \(|YZ|=9\), \(|XZ|=5\). Jsou dány body \(A = [1,5;7;0]\), \(B=[2;2,5;5]\) a rovina \(\varrho =(1,5;1;12)\). Zobrazte průsečík přímky \(p = AB\) s rovinou \(\varrho\).

V každé rovině leží nekonečně mnoho přímek. Nyní si ukážeme skupinu speciálních přímek, které se nazývají hlavní přímky. Jde o přímky, které leží v dané rovině a jsou rovnoběžné s pomocnou průmětnou. Rozlišujeme hlavní přímky 1. osnovy, hlavní přímky 2. osnovy a hlavní přímky 3. osnovy. Hlavní přímky 1. osnovy (zvané také horizontální hlavní přímky) jsou rovnoběžné s půdorysnou \(\pi\), hlavní přímky 2. osnovy (též frontální hlavní přímky) jsou rovnoběžné s nárysnou \(\nu\), hlavní přímky 3. osnovy jsou rovnoběžné s bokorysnou \(\mu\). Hlavní přímky 3. osnovy nemají speciální název.

Ukažme si, jak vypadají hlavní přímky v pravoúhlé axonometrii (obr. 5.4): hlavní přímka 1. osnovy \(^Ih^{\beta}\) roviny \(\beta\) je ve skutečnosti rovnoběžná s půdorysnou stopou. Proto jsou oba její průměty (axonometrický \(^Ih^{\beta}\) i půdorysný \(^Ih_{1}^{\beta}\)) rovnoběžné s axonometrickým průmětem stopy \(p^{\beta}\) roviny \(\beta\) (obr. 5.4). Hlavní přímka 2. osnovy \(^{II}h^{\beta}\) je rovnoběžná s nárysnou stopou. Její axonometrický průmět je rovnoběžný s axonometrickým průmětem stopy \(n^{\beta}\) roviny \(\beta\), axonometrický půdorys \(^{II}h_{1}^{\beta}\) je rovnoběžný s axonometrickým průmětem osy \(x\). Podobně potom hlavní přímka 3. osnovy \(^{III}h^{\beta}\) má axonometrický průmět rovnoběžný s axonometrickým průmětem stopy \(m^{\beta}\) roviny \(\beta\), axonometrický půdorys \(^{III}h_{1}^{\beta}\) je rovnoběžný s axonometrickým průmětem osy \(y\).

5.2 Axonometrický stopník přímky

Axonometrický stopník \(A\) přímky \(p\) je průsečík přímky \(p\) s axonometrickou průmětnou. K jeho nalezení (obr. 5.5) využijeme krycí přímky \(k\), která leží v axonometrické průmětně \(\alpha\) a jejíž půdorys splývá s půdorysem přímky \(p\) (\(k_{1} = p_{1}\)). Axonometrické půdorysy stopníků krycí přímky (\(N_{1}^{k}\), \(M_{1}^{k}\)) splynou s půdorysy stopníků přímky \(p\) (body \(N_{1}\), \(M_{1}\)). Axonometrické průměty \(N^{k}\), \(M^{k}\) najdeme v průsečících ordinál se stopami \(XZ\), \(YZ\) axonometrické průmětny. Sestrojíme axonometrický průmět přímky \(k\), tedy přímku \(N^{k}M^{k}\). Axonometrickým stopníkem přímky \(p\) je průsečík \(A\) přímek \(p\), \(k\).

Rovněž můžeme zvolit krycí přímku \(k\) tak, že její axonometrický průmět bude splývat s axonometrickým průmětem přímky \(p\) (\(k = p\)). Stopníky takové přímky \(k\) leží v průsečících axonometrického průmětu \(k\) přímky se stopami \(XY\), \(XZ\), \(YZ\) axonometrické průmětny. Určíme půdorysy stopníků, jimiž proložíme půdorys \(k_{1}\) přímky \(k\). Průsečík půdorysu \(k_{1}\) přímky \(k\) s půdorysem \(p_{1}\) přímky \(p\) je půdorys \(A_{1}\) axonometrického stopníku \(A\) přímky \(p\).

5.3 Bod v rovině

Abychom zjistili, zda bod \(K\) leží v rovině \(\beta\), proložíme jeho axonometrickým průmětem \(K\) axonometrický průmět \(p\) libovolné přímky. Sestrojíme půdorys \(p_{1}\) přímky \(p\) tak, aby tato přímka ležela v rovině \(\beta\) (stopníky přímky \(p\) musí ležet na stopách roviny \(\beta\)). Leží-li bod \(K_{1}\) na přímce \(p_{1}\), potom bod \(K\) leží v rovině \(\beta\) (obr. 5.6). Pokud bod \(K_{1}\) neleží na přímce \(p_{1}\), znamená to, že bod \(K\) neleží v rovině \(\beta\).

Podobně můžeme bodem \(K_{1}\) vést axonometrický půdorys \(p_{1}\) přímky \(p\) ležící v rovině \(\beta\), určit její axonometrický průmět \(p\) a zjistit, zda bod \(K\) leží na přímce \(p\).

K určení vzájemné polohy bodu \(K\) a roviny \(\beta\) lze použít libovolnou přímku \(p\). Výhodným případem přímky \(p\), kterou lze k určení vzájemné polohy bodu \(K\) a roviny \(\beta\) použít, je hlavní přímka roviny \(\beta\).

5.4 Dvě roviny

Dvě roviny \(\beta\), \(\gamma\) jsou navzájem rovnoběžné, jsou-li rovnoběžné jejich jednotlivé stopy (\(p^{\beta} \parallel p^{\gamma}\wedge n^{\beta} \parallel n^{\gamma} \wedge m^{\beta} \parallel m^{\gamma}\) - obr. 5.7).

Nejsou-li roviny \(\beta\), \(\gamma\) rovnoběžné, potom jsou různoběžné (obr. 5.8) a mají společnou přímku, tzv. průsečnici \(r\). Průsečnice \(r\) prochází průsečíky stop rovin \(\beta\), \(\gamma\) (tzn. průsečíkem půdorysných stop, průsečíkem nárysných stop a průsečíkem bokorysných stop).

Úloha 23. \(X\)[3-8; 6-20], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=10\), \(|YZ|=9\), \(|XZ|=5\). Jsou dány roviny \(\varrho =(1,5;1;12)\), \(\sigma =(8;2;7)\). Zobrazte průsečnici rovin \(\varrho\) a \(\sigma\).

5.5 Axonometrická stopa roviny

Axonometrická stopa \(a\) roviny \(\beta\) je průsečnicí roviny \(\beta\) s axonometrickou průmětnou. Najdeme ji jako spojnici axonometrických stopníků přímek roviny \(\beta\), nebo také jako spojnici průsečíků stop roviny \(\beta\) s příslušnými stopami axonometrické roviny \(\alpha\) (viz obr. 5.9).