V této kapitole se budeme zabývat konstrukcí mnohoúhelníků v průmětnách a v rovinách, které jsou s průmětnami rovnoběžné.

Nejprve si ukážeme konstrukci mnohoúhelníku v půdorysně (resp. v nárysně nebo bokorysně), poté se naučíme posunout mnohoúhelník z půdorysny (nárysny, bokorysny) do roviny, která je s pomocnou průmětnou rovnoběžná.

6.1 Vynesení vrcholů z otočené průmětny

Abychom mohli zobrazit mnohoúhelník ležící v půdorysně, musíme nejprve otočit půdorysnu do axonometrické průmětny (viz podkapitola 3.1). Do otočené půdorysny zakreslíme mnohoúhelník ve skutečné velikosti (viz pětiúhelník \(A_{0}B_{0}C_{0}D_{0}E_{0}\) na obr. 6.1).

Otočený mnohoúhelník převedeme zpět do půdorysny tak, že zobrazíme jeho jednotlivé vrcholy, které následně spojíme úsečkami (obr. 6.2). Velmi praktické je užít při zobrazení afinitu (viz obr. 6.3).

Úloha 24. \(X\)[4-8; 9-21], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=8\), \(|YZ|=9\), \(|XZ|=7\). Jsou dány body \(A=[4;8;0]\), \(B=[0;4;0]\), \(C=[5;2;0]\), \(D=[2;4;0]\), \(E=[9;6;0]\), \(F=[8;8;0]\), \(G=[1;9;0]\). Sestrojte sedmiúhelník \(ABCDEFG\). ŘEŠENÍ

Chceme-li sestrojit mnohoúhelník ležící v nárysně (resp. v bokorysně), namísto půdorysny otočíme nárysnu (bokorysnu). Do otočené nárysny (bokorysny) zobrazíme mnohoúhelník ve skutečné velikosti, který otočíme zpět do axonometrického průmětu nárysny (bokorysny). Osou afinity mezi otočenou nárysnou (bokorysnou) a axonometrickým průmětem nárysny (bokorysny) bude přímka \(XZ\) (\(YZ\)), směrem afinity směr axonometrického průmětu osy \(y\) (\(x\)).

Úloha 25. \(X\)[12-15; 8-23], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=5\), \(|YZ|=4\), \(|XZ|=4\). Jsou dány body \(A=[6;0;1]\), \(T=[9;0;4]\). Sestrojte rovnostranný trojúhelník v nárysně s vrcholem \(A\) a těžištěm \(T\).

Úloha 26. \(X\)[4-10; 5-16], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=8,5\), \(|YZ|=8\), \(|XZ|=5\). Jsou dány body \(A=[0;4;3]\), \(S=[0;4;6]\). Sestrojte pravidelný šestiúhelník \(ABCDEF\) se středem \(S\) ležící v bokorysně. ŘEŠENÍ

Úloha 27. \(X\)[5-13; 3-20], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=5\). Jsou dány body \(A=[4;0;3]\), \(B=[1;0;6]\). Sestrojte rovnostranný trojúhelník \(ABC\) ležící v nárysně. Zvolte řešení, kdy vrchol \(C\) má největší možné souřadnice. ŘEŠENÍ

6.2 Mnohoúhelník v rovině rovnoběžné s půdorysnou

Pro zobrazení mnohoúhelníku \(ABCDE\), který leží v rovině \(\gamma\) rovnoběžné s půdorysnou, zobrazíme nejprve jeho půdorys \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}\), který posuneme ve směru osy \(z\) o \(z\)-ovou souřadnici \(z^\gamma\) roviny \(\gamma\) (viz obr. 6.4), ve které mnohoúhelník leží.

Konstrukce axonometrického půdorysu \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}\) je stejná jako konstrukce mnohoúhelníku ležícího v půdorysně (viz podkapitola 6.1). Pro posunutí mnohoúhelníku do roviny rovnoběžné s půdorysnou potřebujeme vynést \(z\)-ovou souřadnici roviny \(\gamma\). K tomu stačí sklopit promítací rovinu osy \(z\) (viz podkapitola 3.2). Na sklopenou osu naneseme příslušnou \(z\)-ovou souřadnici roviny, ve které mnohoúhelník leží. Souřadnici přeneseme na průmět osy \(z\) a mnohoúhelník posuneme o vektor \(\overrightarrow{Oz^\gamma}\).

Úloha 28. \(X\)[3-10; 8-23], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=5\), \(|YZ|=5\), \(|XZ|=3\). Jsou dány body \(A=[4;1;5]\), \(B=[6;7;5]\), \(C=[4;9;5]\), \(D=[0;9;5]\). Sestrojte čtyřúhelník \(ABCD\).

Je-li cílem sestrojit mnohoúhelník ležící v rovině rovnoběžné s nárysnou (nebo bokorysnou), postup je analogický konstrukci mnohoúhelníku ležícího v rovině rovnoběžné s půdorysnou. Nejprve vyneseme jeho axonometrický nárys (bokorys), který následně posuneme ve směru osy \(y\) (\(x\)).