Abychom mohli v pravoúhlé axonometrii vynášet průměty jednotlivých bodů zadaných souřadnicemi, musíme znát axonometrické jednotky, tj. zkreslené jednotky délky na axonometrických průmětech os (obr. 3.1). Ty můžeme získat dvojím způsobem. Sklopením promítacích rovin jednotlivých os do axonometrické průmětny nebo otočením pomocné průmětny do axonometrické průmětny.
Obrázek 3.1: Axonometrické jednotky
3.1 Otočení pomocné průmětny
Obrázek 3.2: Otočení pomocné průmětny
Do axonometrické průmětny otočíme např. půdorysnu \(\pi\) (obr. 3.2). Stranu \(XY\) axonometrického trojúhelníku vidíme ve skutečné velikosti (\(X = X_{0}\), \(Y = Y_{0}\)). Okolo této strany otočíme rovinu \(\leftrightarrow xy\). Protože body \(X_{0}\), \(Y_{0}\) už známe, stačí otočit počátek \(O\) soustavy souřadnic. Otočený počátek \(O_{0}\) bude ležet v promítací rovině osy \(z\). Zobrazí se tedy na průmět osy \(z\). Zároveň víme, že osy \(x\), \(y\) svírají ve skutečnosti pravý úhel. Otočený počátek tedy musí ležet na Thalétově kružnici nad průměrem \(XY\). Otočené osy \(x_{0}\), \(y_{0}\) jsou určeny body \(O_{0}X_{0}\), resp. \(O_{0}Y_{0}\). Určíme-li nyní na otočených osách \(x_{0}\), \(y_{0}\) jednotky ve skutečné velikosti, jejich axonometrické průměty získáme přenesením na axonometrické průměty os ve směru kolmém k přímce \(XY\).
Mezi axonometrickým průmětem půdorysny a jejím otočením platí afinita, jejíž osou je přímka \(XY\), směrem průmět axonometrické osy \(z\) a afinně sdruženými body jsou body \(O\), \(O_{0}\).
Obdobně můžeme do axonometrické průmětny otočit i nárysnu \(\nu\) a bokorysnu \(\mu\).
Úloha 2.
\(X\)[3-7; 4-13],
\(\triangle XYZ\):
\(|XY|=11\), \(|YZ|=17\), \(|XZ|=15\).
Určete jednotky na osách \(x\), \(y\). (Otočte půdorysnu do axonometrické průmětny.)
Úloha 3.
\(\triangle XYZ\):
\(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=5\).
Určete jednotky na osách \(x\), \(y\). (Otočte půdorysnu do axonometrické průmětny.)
Úloha 4.
\(\triangle XYZ\):
\(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=5\).
Určete jednotky na osách \(x\), \(z\). (Otočte nárysnu do axonometrické průmětny.)
Úloha 5.
\(\triangle XYZ\):
\(|XY|=8,5\), \(|YZ|=8\), \(|XZ|=5\).
Určete jednotky na osách \(y\), \(z\). (Otočte bokorysnu do axonometrické průmětny.)
3.2 Sklopení promítací roviny osy
Obrázek 3.3: Sklopení promítací roviny osy \(z\)
Pro vysvětlení této metody si do axonometrické průmětny sklopíme promítací rovinu osy \(z\) (obr. 3.3). Označme \(O_{XY}\) průsečík průmětu osy \(z\) se stranou \(XY\) axonometrického trojúhelníku. (Průsečík v prostoru neexistuje, ve skutečnosti je osa \(z\) se stranou \(XY\) mimoběžná. Ve skutečnosti dále pracujeme s bodem \(O_{XY}\) na přímce \(XY\), který leží v otáčené promítací rovině. (Bod ležící na ose \(z\) by nám nepomohl.) Nyní si uvědomme, že přímka \(OO_{XY}\) leží v půdorysně, tudíž je kolmá na osu \(z\). Trojúhelník \(OO_{XY}Z\) je tedy pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu \(O\). Body \(Z\), \(O_{XY}\) leží v axonometrické průmětně, odpovídají tedy přímo sklopeným bodům \((Z)\), \((O_{XY})\). Počátek \(O\) soustavy souřadnic sklopíme na kolmici k ose sklápění \(ZO_{XY}\). Zároveň bude bod \((O)\) ležet na Thalétově kružnici nad průměrem \(ZO_{XY}\). Přímka \((O)(Z) = (O)Z\) je sklopená osa \(z\). Na této přímce můžeme od bodu \((O)\) nanést jednotku délky ve skutečné velikosti \((1^{z})\). Axonometrický průmět této jednotky získáme přenesením kolmo na axonometrický průmět osy \(z\).
Další jednotky můžeme nanášet jako násobky jednotky \(1^{z}\) nebo je přeneseme kolmo ze sklopených jednotek nanesených ve skutečné velikosti na sklopenou osu \(z\).
Stejně jako jsme sklopili promítací rovinu osy \(z\), můžeme sklopit i promítací roviny os \(x\), \(y\).
Úloha 6.
\(X\)[3-7; 4-13],
\(\triangle XYZ\):
\(|XY|=11\), \(|YZ|=17\), \(|XZ|=15\).
Určete jednotky na ose \(z\). (Sklopte osu \(z\) do axonometrické průmětny.)
Úloha 7.
\(\triangle XYZ\):
\(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=5\).
Určete jednotky na ose \(z\). (Sklopte osu \(z\) do axonometrické průmětny.)
Úloha 8.
\(\triangle XYZ\):
\(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=5\).
Určete jednotky na ose \(y\). (Sklopte osu \(y\) do axonometrické průmětny.)
Úloha 9.
\(\triangle XYZ\):
\(|XY|=8,5\), \(|YZ|=8\), \(|XZ|=5\).
Určete jednotky na ose \(x\). (Sklopte osu \(x\) do axonometrické průmětny.)
3.3 Průmět bodu
Obrázek 3.4: Průmět bodu \(K\)
K zobrazení bodu v pravoúhlé axonometrii je vhodné kombinovat sklopení promítací roviny osy a otočení pomocné průmětny. Na obr. 3.4 si můžeme všimnout otočení půdorysny \(\pi\) a sklopení promítací roviny osy \(z\). V otočené půdorysně zobrazíme otočený půdorys \( K_{10} \) bodu \(K\) a přeneseme jej na axonometrický půdorys \(K_1\). Na sklopenou osu \(z\) naneseme \(z\)-ovou souřadnici \((z^K)\) bodu \(K\), na axonometrické ose \(z\) určíme axonometrickou \(z\)-ovou souřadnici \(z^K\). Axonometrický průmět \(K\) získáme posunutím axonometrického půdorysu \(K_1\) o vektor \(\overrightarrow{Oz^K}\).
Spojnice axonometrického průmětu bodu s jeho axonometrickým půdorysem (na obr. 3.4 je to přímka \( KK_1\)) se nazývá ordinála.
Chceme-li zobrazit více bodů, je vhodné použít již zmíněnou afinitu mezi otočenou půdorysnou a axonometrickou půdorysnou (porovnání viz obr. 4.2 a 4.3).
Volba této kombinace (otočení půdorysny a sklopení promítací roviny osy \(z\)) je velmi výhodná vzhledem ke skutečnosti, že během konstrukce axonometrického bodu získáme i jeho axonometrický půdorys.
