10.1 Průnik přímky s mnohostěnem

Na obr. 10.1 vidíme jehlan \(ABCDEV\) a přímku \(p\). Přímkou \(p\) jsou proloženy roviny \(\beta\) a \(\delta\). Dále jsou sestrojeny řezy jehlanu těmito rovinami. Můžeme si všimnout, že oba řezy protíná přímka \(p\) ve stejné úsečce. Tato úsečka je průnikem přímky s jehlanem.

K nalezení průniku přímky \(p\) s jehlanem proložíme přímkou \(p\) libovolnou rovinu \(\beta\) a sestrojíme řez jehlanu touto rovinou. Průsečíky řezu s přímkou \(p\) jsou krajní body průniku přímky \(p\) s jehlanem.

Rovina \(\delta\) na obr. 10.1 je vrcholová rovina, tzn. rovina, která obsahuje hlavní vrchol jehlanu. Konstrukce řezu jehlanu vrcholovou rovinou je obvykle jednodušší než konstrukce řezu jinou rovinou. Řezem je totiž vždy trojúhelník. Vrcholy řezu jsou hlavní vrchol jehlanu a průsečíky půdorysné stopy roviny \(\delta\) s obvodem podstavy jehlanu (za předpokladu, že podstava jehlanu leží v půdorysně).

Vrcholová rovina \(\delta\) je zadána přímkou \(p\) a vrcholem \(V\). Na obr. 10.1 je vrcholem \(V\) vedena přímka \(q\) rovnoběžná s přímkou \(p\). Průsečíky přímek \(p\), \(q\) s nárysnou (resp. s bokorysnou) prochází nárysná (bokorysná) stopa roviny \(\delta\). Nyní jsme schopni zobrazit půdorysnou stopu vrcholové roviny \(\delta\). Místo rovnoběžky \(q\) lze vést vrcholem \(V\) přímku různoběžnou s přímkou \(p\) - ideálně tak, aby se její půdorysný stopník vešel do výkresu. Dále nemusíme hledat nárysnou ani bokorysnou stopu vrcholové roviny. K řešení průniku nám postačí půdorysná stopa vrcholové roviny jako spojnice půdorysných stopníků přímek určujících rovinu.

Ani při řešení průniku přímky s tělesem nesmíme zapomenout na viditelnost. Je-li přímka vně tělesa, musíme rozhodnout, zda leží před tělesem, nebo za ním. Pokud průsečík přímky s tělesem leží ve stěně tělesa, která je vidět, přímka vycházející z tělesa tímto bodem je rovněž vidět. Pokud průsečík leží ve stěně, která vidět není, není vidět ani tento průsečík. Přímka je zde neviditelná až do části, kde její průmět vychází ven z průmětu tělesa.

Úloha 55. \(X\)[5-13; 3-20], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=5\). Je dán pravidelný trojboký jehlan \(ABCV\) s podstavou v nárysně. Výška jehlanu \(v = 7\), body \(A=[4;0;3]\), \(B=[1;0;6]\) (viz úloha 40). Dále jsou dány body \(N^{q} = [7;0;6]\), \(M^{q} = [0;6;6]\). Sestrojte průnik jehlanu s přímkou \(q = \leftrightarrow N^{q}M^{q}\). ŘEŠENÍ

Průnik přímky s hranolem určujeme podobně jako průnik přímky s jehlanem. Zvolíme libovolnou rovinu, která obsahuje danou přímku, sestrojíme řez hranolu touto rovinou, a určíme body průniku. Výhodné je zvolit směrovou rovinu, tedy rovinu, která obsahuje přímky rovnoběžné s bočními hranami hranolu. Za předpokladu, že průnikem přímky s hranolem je úsečka (viz úvod kapitoly 10), řezem hranolu touto rovinou je rovnoběžník.

Na obr. 10.2 je zobrazen průnik přímky \(p\) s hranolem \(ABCDEA'B'C'D'E'\). Je zvolena obecná rovina \(\beta\) procházející přímkou \(p\) a sestrojen řez hranolu touto rovinou. Průnikem přímky \(p\) s hranolem je její průnik s řezem hranolu rovinou \(\beta\).

Půdorysnou stopu směrové roviny \(\delta\) najdeme tak, že libovolným bodem \(M\) přímky \(p\) vedeme přímku \(q\) rovnoběžnou s boční hranou hranolu. Půdorysnými stopníky přímek \(q\) a \(p\) proložíme půdorysnou stopu \(p^\delta\) roviny \(\delta\). Půdorysná stopa \(p^\delta\) určí stranu řezu, která leží v dolní podstavě hranolu. Další dvě strany řezu jsou rovnoběžné s bočními hranami hranolu a prochází průsečíky stopy \(p^\delta\) s podstavnými hranami hranolu. Poslední strana řezu leží v horní podstavě hranolu a je rovnoběžná s půdorysnou stopou roviny \(\delta\).

Úloha 56. \(X\)[4-10; 5-16], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=8,5\), \(|YZ|=8\), \(|XZ|=5\). Je dán pravidelný šestiboký hranol \(ABCDEFA'B'C'D'E'F'\) jehož podstava leží v bokorysně. Bod \(A=[0;4;3]\), střed podstavy \(S=[0;4;6]\), výška hranolu \(v = 7\) (viz úloha 37). Dále jsou dány body \(N^{m}=[5;0;5]\), \(M^{m}=[0;9;7]\). Sestrojte průnik hranolu s přímkou \(m = \leftrightarrow N^{m}M^{m}\). ŘEŠENÍ

Úloha 57. \(X\)[5-8; 3-19], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=7\), \(|YZ|=8\), \(|XZ|=9\). Jsou dány body \(A=[4;0;2]\), \(B=[4;0;6]\), \(C=[7;0;8]\), \(K=[8;8;8]\), \(L=[6;4;2]\) a délka \(v=9\). Sestrojte průnik přímky \(KL\) s kolmým hranolem \(ABCA'B'C'\). Výška hranolu je \(v\).