Průnikem přímky s tělesem rozumíme množinu bodů, které jsou společné přímce i tělesu. Pokud přímka nemá s tělesem společné body, nedochází k průniku. Průnikem může být jeden bod (přímka se dotýká tělesa v jednom bodě na povrchu tělesa) nebo úsečka. Ta může být částí povrchu tělesa. V této kapitole se budeme věnovat průnikům, při kterých je průnikem úsečka procházející vnitřkem tělesa. Jejími krajními body jsou průsečíky přímky se stěnami tělesa.

Průnik přímky s tělesem určíme tak, že danou přímkou proložíme libovolnou rovinu a sestrojíme řez tělesa touto rovinou. Body, ve kterých přímka protíná hranici řezu, určují průnik přímky s tělesem.

Budeme se zabývat i vhodností rovin zvolených k pomocnému řezu. Pro průniky jehlanů a kuželů ukážeme volbu vrcholové roviny, průniky hranolů a válců vyřešíme pomocí směrových rovin.

---

10.1 Průnik přímky s mnohostěnem

Na obr. 10.1 vidíme jehlan \(ABCDEV\) a přímku \(p\). Přímkou \(p\) jsou proloženy roviny \(\beta\) a \(\delta\). Dále jsou sestrojeny řezy jehlanu těmito rovinami. Můžeme si všimnout, že oba řezy protíná přímka \(p\) ve stejné úsečce. Tato úsečka je průnikem přímky s jehlanem.

K nalezení průniku přímky \(p\) s jehlanem proložíme přímkou \(p\) libovolnou rovinu \(\beta\) a sestrojíme řez jehlanu touto rovinou. Průsečíky řezu s přímkou \(p\) jsou krajní body průniku přímky \(p\) s jehlanem.

Rovina \(\delta\) na obr. 10.1 je vrcholová rovina, tzn. rovina, která obsahuje hlavní vrchol jehlanu. Konstrukce řezu jehlanu vrcholovou rovinou je obvykle jednodušší než konstrukce řezu jinou rovinou. Řezem je totiž vždy trojúhelník. Vrcholy řezu jsou hlavní vrchol jehlanu a průsečíky půdorysné stopy roviny \(\delta\) s obvodem podstavy jehlanu (za předpokladu, že podstava jehlanu leží v půdorysně).

Vrcholová rovina \(\delta\) je zadána přímkou \(p\) a vrcholem \(V\). Na obr. 10.1 je vrcholem \(V\) vedena přímka \(q\) rovnoběžná s přímkou \(p\). Průsečíky přímek \(p\), \(q\) s nárysnou (resp. s bokorysnou) prochází nárysná (bokorysná) stopa roviny \(\delta\). Nyní jsme schopni zobrazit půdorysnou stopu vrcholové roviny \(\delta\). Místo rovnoběžky \(q\) lze vést vrcholem \(V\) přímku různoběžnou s přímkou \(p\) - ideálně tak, aby se její půdorysný stopník vešel do výkresu. Dále nemusíme hledat nárysnou ani bokorysnou stopu vrcholové roviny. K řešení průniku nám postačí půdorysná stopa vrcholové roviny jako spojnice půdorysných stopníků přímek určujících rovinu.

Ani při řešení průniku přímky s tělesem nesmíme zapomenout na viditelnost. Je-li přímka vně tělesa, musíme rozhodnout, zda leží před tělesem, nebo za ním. Pokud průsečík přímky s tělesem leží ve stěně tělesa, která je vidět, přímka vycházející z tělesa tímto bodem je rovněž vidět. Pokud průsečík leží ve stěně, která vidět není, není vidět ani tento průsečík. Přímka je zde neviditelná až do části, kde její průmět vychází ven z průmětu tělesa.

Úloha 55. \(X\)[5-13; 3-20], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=5\). Je dán pravidelný trojboký jehlan \(ABCV\) s podstavou v nárysně. Výška jehlanu \(v = 7\), body \(A=[4;0;3]\), \(B=[1;0;6]\) (viz úloha 40). Dále jsou dány body \(N^{q} = [7;0;6]\), \(M^{q} = [0;6;6]\). Sestrojte průnik jehlanu s přímkou \(q = \leftrightarrow N^{q}M^{q}\). ŘEŠENÍ

Průnik přímky s hranolem určujeme podobně jako průnik přímky s jehlanem. Zvolíme libovolnou rovinu, která obsahuje danou přímku, sestrojíme řez hranolu touto rovinou, a určíme body průniku. Výhodné je zvolit směrovou rovinu, tedy rovinu, která obsahuje přímky rovnoběžné s bočními hranami hranolu. Za předpokladu, že průnikem přímky s hranolem je úsečka (viz úvod kapitoly 10), řezem hranolu touto rovinou je rovnoběžník.

Na obr. 10.2 je zobrazen průnik přímky \(p\) s hranolem \(ABCDEA'B'C'D'E'\). Je zvolena obecná rovina \(\beta\) procházející přímkou \(p\) a sestrojen řez hranolu touto rovinou. Průnikem přímky \(p\) s hranolem je její průnik s řezem hranolu rovinou \(\beta\).

Půdorysnou stopu směrové roviny \(\delta\) najdeme tak, že libovolným bodem \(M\) přímky \(p\) vedeme přímku \(q\) rovnoběžnou s boční hranou hranolu. Půdorysnými stopníky přímek \(q\) a \(p\) proložíme půdorysnou stopu \(p^\delta\) roviny \(\delta\). Půdorysná stopa \(p^\delta\) určí stranu řezu, která leží v dolní podstavě hranolu. Další dvě strany řezu jsou rovnoběžné s bočními hranami hranolu a prochází průsečíky stopy \(p^\delta\) s podstavnými hranami hranolu. Poslední strana řezu leží v horní podstavě hranolu a je rovnoběžná s půdorysnou stopou roviny \(\delta\).

Úloha 56. \(X\)[4-10; 5-16], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=8,5\), \(|YZ|=8\), \(|XZ|=5\). Je dán pravidelný šestiboký hranol \(ABCDEFA'B'C'D'E'F'\) jehož podstava leží v bokorysně. Bod \(A=[0;4;3]\), střed podstavy \(S=[0;4;6]\), výška hranolu \(v = 7\) (viz úloha 37). Dále jsou dány body \(N^{m}=[5;0;5]\), \(M^{m}=[0;9;7]\). Sestrojte průnik hranolu s přímkou \(m = \leftrightarrow N^{m}M^{m}\). ŘEŠENÍ

Úloha 57. \(X\)[5-8; 3-19], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=7\), \(|YZ|=8\), \(|XZ|=9\). Jsou dány body \(A=[4;0;2]\), \(B=[4;0;6]\), \(C=[7;0;8]\), \(K=[8;8;8]\), \(L=[6;4;2]\) a délka \(v=9\). Sestrojte průnik přímky \(KL\) s kolmým hranolem \(ABCA'B'C'\). Výška hranolu je \(v\).

---

10.2 Průnik přímky s rotačním tělesem

Průnik přímky s rotačním tělesem najdeme stejně jako průnik přímky s mnohostěnem: zvolíme rovinu, která danou přímku obsahuje, a sestrojíme řez tělesa touto rovinou. Průnikem přímky s tělesem je její průnik s řezem. Vzhledem k obtížnější konstrukci řezu je ale nevýhodné volit u válců/kuželů jinou rovinu, než směrovou/vrcholovou (obr. 10.3 a 10.4).

Na obr. 10.3 je zobrazen průnik přímky \(p\) s rotačním válcem. Můžeme si všimnout dvou různých řezů. Řez obecnou rovinou \(\beta\) vede k řešení průniku, konstrukce řezu je ale velmi náročná (je třeba sestrojit elipsu a následně průsečíky elipsy s přímkou). Při volbě směrové roviny \(\delta\) je řezem rotačního válce obdélník (zobrazí se jako kosodélník). Vyhneme se tak konstrukci kuželosečky.

Úloha 58. \(X\)[7-12; 7-19], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=4\), \(|YZ|=5\), \(|XZ|=6\). Je dán rotační válec, jehož podstava se středem \(S = [8;8;0]\) a poloměrem \(r=3\) leží v půdorysně, výška válce je \(v=7\) (viz úloha 43). Dále jsou dány bod \(N=[6;0;7]\), \(L=[8;9;3]\). Sestrojte průnik válce s přímkou \(k = \leftrightarrow NL\). ŘEŠENÍ

Úloha 59. \(X\)[4-9; 6-19], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=9\), \(|YZ|=9\), \(|XZ|=9\). Jsou dány body \(S=[2;0;1]\), \(K=[4;2;1]\), \(L=[1;1;8]\) a délky \(r=6\), \(v=5\). Sestrojte rotační válec, jehož podstava se středem \(S\) a poloměrem \(r\) leží v nárysně. Výška válce je \(v\). Sestrojte průnik válce s přímkou \(KL\).

Řešení průniku přímky \(p\) s kuželem vidíme na obr. 10.4. Jednou možností je použít libovolnou rovinu \(\beta\), jejímž řezem je kuželosečka, kterou následně musíme sestrojit, abychom našli průnik přímky s kuželem. Nebo můžeme přímkou \(p\) proložit vrcholovou rovinu \(\delta\). Řezem kužele rovinou \(\delta\) je trojúhelník.

Úloha 60. \(X\)[3-9; 2-18], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=8,5\), \(|YZ|=8\), \(|XZ|=5\). Je dán rotační kužel s podstavou v půdorysně. Střed podstavy \(S=[0;0;0]\), poloměr podstavy \(r=3\), výška kužele \(v=10\) (viz úloha 45). Dále jsou dány body \(M=[0;4;6]\), \(N=[1;0;4]\). Sestrojte průnik kužele s přímkou \(l=\leftrightarrow MN\). ŘEŠENÍ

Ukažme si ještě průnik osy \(x\) s koulí, jejíž střed je v počátku \(O\) (obr. 10.5). Mohli bychom sestrojit řez koule půdorysnou či nárysnou a najít průnik s osou \(x\) pomocí tohoto řezu. Tím bychom si ale zbytečně zkomplikovali práci. Uvědomme si, že průsečíky přímky s povrchem koule leží na ose a jejich vzdálenost od středu koule je poloměrem koule. Stačí tedy do axonometrické průmětny sklopit promítací rovinu osy \(x\) nebo otočit půdorysnu/nárysnu. Ze sklopení (otočení) přeneseme skutečnou délku poloměru na axonometrickou osu \(x\).

Rovina, do které promítáme (rovina papíru, rovina školní tabule), se nazývá axonometrická průmětna (značíme \(\alpha\)). Tato rovina není rovnoběžná s žádnou souřadnicovou osou (\(\alpha \not\parallel x\), \(\alpha \not\parallel y\), \(\alpha \not\parallel z\)). Objekty (např. bod \(K\)) promítáme kolmo do axonometrické průmětny. Tomuto průmětu \(K^{a}\) říkáme axonometrický průmět bodu K.

S pouhými axonometrickými průměty si ale nevystačíme. Aby bylo zobrazení jednoznačné, použijeme ještě axonometrické půdorysy zobrazovaných objektů (viz bod \(K_{1}^a\) na obr. 2.1). Axonometrickým půdorysem je axonometrický průmět prvního průmětu (pravoúhlého průmětu do půdorysny). Pro zjednodušení budeme axonometrické průměty bodů popisovat bez horního indexu a, tedy axonometrický průmět \(K^{a}\) bodu \(K\) označíme jednoduše písmenem \(K\) (obr. 2.1 vpravo).

Nyní můžeme říci, že pravoúhlá axonometrie je vzájemně jednoznačné zobrazení bodů prostoru na uspořádané dvojice průmětů.

Podobně jako axonometrické půdorysy můžeme zobrazit i axonometrické nárysy a axonometrické bokorysy, viz body \(K_2\), \(K_3\) na obr. 2.2.

Axonometrická rovina je dána axonometrickým trojúhelníkem (\(\triangle XYZ\)), který vymezují průsečnice axonometrické roviny se souřadnicovými rovinami. Axonometrický trojúhelník je ostroúhlý.

Pravoúhlou axonometrii můžeme zadat axonometrickou rovinou nebo axonometrickým osovým křížem, tedy axonometrickými průměty os \(x\), \(y\), \(z\) (obr. 2.3).

Axonometrický osový kříž je tvořen výškami axonometrického trojúhelníku. K zadanému axonometrickému trojúhelníku jsme tedy schopni sestrojit axonometrický osový kříž. Stejně tak, máme-li axonometrický osový kříž, můžeme pomocí kolmic k průmětům os sestrojit libovolný axonometrický trojúhelník. Na jeho velikosti nezáleží - všechny tyto trojúhelníky jsou podobné a reprezentují navzájem rovnoběžné axonometrické roviny (obr. 2.4).

Úloha 1. \(X\)[3-7; 4-13], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=11\), \(|YZ|=17\), \(|XZ|=15\). Sestrojte axonometrický osový kříž.

V axonometrii rozlišujeme axonometrický nadhled (obr. 2.5 vlevo) nebo axonometrický podhled (obr. 2.5 vpravo). Axonometrický podhled volíme, chceme-li zobrazit situaci zespodu. V tomto případě leží počátek soustavy souřadnic před axonometrickým trojúhelníkem a kladné poloosy se „rozbíhají dozadu“. Ve většině případů se ale používá axonometrický nadhled, kde počátek leží za axonometrickým trojúhelníkem.

V našich konstrukcích se omezíme pouze na axonometrický nadhled. V zadání úloh tedy nebudeme uvádět, že jde o nadhled, budeme to ale předpokládat.

Pro konstrukci axonometrických průmětů náročnějších těles je vhodné použít tzv. zářezovou metodu. V ní se využívá zobrazení dvou pravoúhlých průmětů daného tělesa do pomocných průměten. Postup zobrazení bodu si ukážeme na obrázku 11.1.

Nejprve otočíme půdorysnu do axonometrické průmětny. Tuto rovinu (resp. osy \(x_{0}\), \(y_{0}\)) posuneme libovolně ve směru \(O_{0}O\). Stejným postupem otočíme a vysuneme nárysnu nebo bokorysnu (na obr. 11.1 je vysunutá nárysna). Do vysunutých průměten zobrazíme půdorys a nárys (bokorys) bodu, jako je tomu v Mongeově promítání. Bod \(A\) zobrazíme v axonometrické průmětně následovně: průmětem \(A_{10}'\) bodu \(A\) v půdorysu vedeme rovnoběžku se směrem vysunutí půdorysny (tedy se směrem axonometrické osy \(z\)), průmětem \(A_{20}''\) v nárysu (bokorysu) vedeme rovnoběžku se směrem vysunutí nárysny (bokorysny). Průsečíkem takto vedených rovnoběžek je axonometrický průmět \(A\). K sestrojení axonometrického půdorysu \(A_1\) použijeme stejný postup, místo rovnoběžky vedené vysunutým nárysem \(A_{20}''\) (bokorysem) ale musíme vést rovnoběžku vysunutým nárysem půdorysu \((A_1)_{20}''\).

Pro zobrazení jednoho bodu je průsečná metoda zbytečně obtížná. Zato k zobrazení složitějších těles je velmi praktická a přehledná. Příklad můžeme vidět na obr. 11.2, kde jsme pro porovnání použili vysunutý bokorys namísto nárysu. Průsečnou metodou najdeme průměty všech vrcholů tělesa, které spojíme hranami.

Úloha 61. \(X\)[10; 19], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=8\). Jsou dány průměty komolého osmistěnu v Mongeově promítání (obr. 11.4). Pro lepší představu tělesa může posloužit obr. 11.3. Zobrazte těleso v pravoúhlé axonometrii. ŘEŠENÍ

Abychom mohli v pravoúhlé axonometrii vynášet průměty jednotlivých bodů zadaných souřadnicemi, musíme znát axonometrické jednotky, tj. zkreslené jednotky délky na axonometrických průmětech os (obr. 3.1). Ty můžeme získat dvojím způsobem. Sklopením promítacích rovin jednotlivých os do axonometrické průmětny nebo otočením pomocné průmětny do axonometrické průmětny.

---

3.1 Otočení pomocné průmětny

Do axonometrické průmětny otočíme např. půdorysnu \(\pi\) (obr. 3.2). Stranu \(XY\) axonometrického trojúhelníku vidíme ve skutečné velikosti (\(X = X_{0}\), \(Y = Y_{0}\)). Okolo této strany otočíme rovinu \(\leftrightarrow xy\). Protože body \(X_{0}\), \(Y_{0}\) už známe, stačí otočit počátek \(O\) soustavy souřadnic. Otočený počátek \(O_{0}\) bude ležet v promítací rovině osy \(z\). Zobrazí se tedy na průmět osy \(z\). Zároveň víme, že osy \(x\), \(y\) svírají ve skutečnosti pravý úhel. Otočený počátek tedy musí ležet na Thalétově kružnici nad průměrem \(XY\). Otočené osy \(x_{0}\), \(y_{0}\) jsou určeny body \(O_{0}X_{0}\), resp. \(O_{0}Y_{0}\). Určíme-li nyní na otočených osách \(x_{0}\), \(y_{0}\) jednotky ve skutečné velikosti, jejich axonometrické průměty získáme přenesením na axonometrické průměty os ve směru kolmém k přímce \(XY\).

Mezi axonometrickým průmětem půdorysny a jejím otočením platí afinita, jejíž osou je přímka \(XY\), směrem průmět axonometrické osy \(z\) a afinně sdruženými body jsou body \(O\), \(O_{0}\).

Obdobně můžeme do axonometrické průmětny otočit i nárysnu \(\nu\) a bokorysnu \(\mu\).

Úloha 2. \(X\)[3-7; 4-13], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=11\), \(|YZ|=17\), \(|XZ|=15\). Určete jednotky na osách \(x\), \(y\). (Otočte půdorysnu do axonometrické průmětny.)

Úloha 3. \(\triangle XYZ\): \(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=5\). Určete jednotky na osách \(x\), \(y\). (Otočte půdorysnu do axonometrické průmětny.)

Úloha 4. \(\triangle XYZ\): \(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=5\). Určete jednotky na osách \(x\), \(z\). (Otočte nárysnu do axonometrické průmětny.)

Úloha 5. \(\triangle XYZ\): \(|XY|=8,5\), \(|YZ|=8\), \(|XZ|=5\). Určete jednotky na osách \(y\), \(z\). (Otočte bokorysnu do axonometrické průmětny.)

---

3.2 Sklopení promítací roviny osy

Pro vysvětlení této metody si do axonometrické průmětny sklopíme promítací rovinu osy \(z\) (obr. 3.3). Označme \(O_{XY}\) průsečík průmětu osy \(z\) se stranou \(XY\) axonometrického trojúhelníku. (Průsečík v prostoru neexistuje, ve skutečnosti je osa \(z\) se stranou \(XY\) mimoběžná. Ve skutečnosti dále pracujeme s bodem \(O_{XY}\) na přímce \(XY\), který leží v otáčené promítací rovině. (Bod ležící na ose \(z\) by nám nepomohl.) Nyní si uvědomme, že přímka \(OO_{XY}\) leží v půdorysně, tudíž je kolmá na osu \(z\). Trojúhelník \(OO_{XY}Z\) je tedy pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu \(O\). Body \(Z\), \(O_{XY}\) leží v axonometrické průmětně, odpovídají tedy přímo sklopeným bodům \((Z)\), \((O_{XY})\). Počátek \(O\) soustavy souřadnic sklopíme na kolmici k ose sklápění \(ZO_{XY}\). Zároveň bude bod \((O)\) ležet na Thalétově kružnici nad průměrem \(ZO_{XY}\). Přímka \((O)(Z) = (O)Z\) je sklopená osa \(z\). Na této přímce můžeme od bodu \((O)\) nanést jednotku délky ve skutečné velikosti \((1^{z})\). Axonometrický průmět této jednotky získáme přenesením kolmo na axonometrický průmět osy \(z\).

Další jednotky můžeme nanášet jako násobky jednotky \(1^{z}\) nebo je přeneseme kolmo ze sklopených jednotek nanesených ve skutečné velikosti na sklopenou osu \(z\).

Stejně jako jsme sklopili promítací rovinu osy \(z\), můžeme sklopit i promítací roviny os \(x\), \(y\).

Úloha 6. \(X\)[3-7; 4-13], \(\triangle XYZ\): \(|XY|=11\), \(|YZ|=17\), \(|XZ|=15\). Určete jednotky na ose \(z\). (Sklopte osu \(z\) do axonometrické průmětny.)

Úloha 7. \(\triangle XYZ\): \(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=5\). Určete jednotky na ose \(z\). (Sklopte osu \(z\) do axonometrické průmětny.)

Úloha 8. \(\triangle XYZ\): \(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=5\). Určete jednotky na ose \(y\). (Sklopte osu \(y\) do axonometrické průmětny.)

Úloha 9. \(\triangle XYZ\): \(|XY|=8,5\), \(|YZ|=8\), \(|XZ|=5\). Určete jednotky na ose \(x\). (Sklopte osu \(x\) do axonometrické průmětny.)

---

3.3 Průmět bodu

K zobrazení bodu v pravoúhlé axonometrii je vhodné kombinovat sklopení promítací roviny osy a otočení pomocné průmětny. Na obr. 3.4 si můžeme všimnout otočení půdorysny \(\pi\) a sklopení promítací roviny osy \(z\). V otočené půdorysně zobrazíme otočený půdorys \( K_{10} \) bodu \(K\) a přeneseme jej na axonometrický půdorys \(K_1\). Na sklopenou osu \(z\) naneseme \(z\)-ovou souřadnici \((z^K)\) bodu \(K\), na axonometrické ose \(z\) určíme axonometrickou \(z\)-ovou souřadnici \(z^K\). Axonometrický průmět \(K\) získáme posunutím axonometrického půdorysu \(K_1\) o vektor \(\overrightarrow{Oz^K}\).

Spojnice axonometrického průmětu bodu s jeho axonometrickým půdorysem (na obr. 3.4 je to přímka \( KK_1\)) se nazývá ordinála.

Chceme-li zobrazit více bodů, je vhodné použít již zmíněnou afinitu mezi otočenou půdorysnou a axonometrickou půdorysnou (porovnání viz obr. 4.2 a 4.3).

Volba této kombinace (otočení půdorysny a sklopení promítací roviny osy \(z\)) je velmi výhodná vzhledem ke skutečnosti, že během konstrukce axonometrického bodu získáme i jeho axonometrický půdorys.

Úloha 10. \(\triangle XYZ\): \(|XY|=6\), \(|YZ|=7\), \(|XZ|=5\). Zobrazte body \(B=[1;0;6]\), \(F=[4;2;5]\).

Úloha 11. \(\triangle XYZ\): \(|XY|=8,5\), \(|YZ|=8\), \(|XZ|=5\). Zobrazte bod \(A=[0;4;3]\).